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離散変分法の拡張に関する研究
　「離散変分法」とは，保存則（例：Hamilton 系におけるエネルギー＝ハミルトニアン）や散逸則（例：熱伝導方程式におけるエネルギー散逸）を持つ微分方程式に対して，それらを離散系でも保つ数値計算公式（スキームと呼びます）を，自動的に作る手法です． 1996年頃，降旗・森により提案されたあと，主に降旗・松尾により発展を遂げてきました．
　「なぜ保存則（散逸則）が大切なのか？」　それは次の図を見てください．これは非線形 Schrödinger 方程式（光ファイバー中の光伝播などを記述する方程式）のソリトン解（粒子のように安定して伝播する解）を，ふたつの異なるスキームで計算したものです．


通常よく用いられるスキーム	保存則を満たすスキーム（離散変分法）

　図中，左奥から右手前に向かって時間発展です．通常良く用いられるスキームでは，ソリトン解が壊れほとんどノイズになってしまっています（左図）．一方，離散変分法による保存則を満たすスキームでは，ソリトンが壊れません（右図）．このように，よりもっともらしい解を求めるために，保存則（散逸則）は重要なのです．他にも，保存則・散逸則は，数値解の安定性にも寄与することが分かっています．
　今後は，「有限要素法への拡張」「線形スキームの安定化」などを詰めていく必要があります．

(注) トップ中央の絵は，上右図をイラスト化したものです．

微分方程式の時間高精度な保存・散逸解法の研究
　上の「離散変分法の拡張」とも関係します．このテーマでは主に常微分方程式を扱います．
　常微分方程式の数値解法は，一般論の範囲ではほぼ成熟していますが，保存則・散逸則を持つ方程式の解法は，ごく低精度な場合しかまだ研究されていません．これを高精度なものに拡張しよう，というのがこのテーマの試みです．
　2005年9月現在，一応形式的な形で，任意の次数の保存・散逸公式を作ることに成功しています．

7,9,11次スキームの精度

　左図は，7次～11次スキームで，y'=-y （散逸系）を解いたときの誤差を計ったものです．横軸が離散化点数 N，縦軸が誤差です．両対数グラフなので，(1/N)^p という量は直線になります．実際，p=7,9,11 の直線上に実測値が乗っているので，正しくそれだけの精度が出ていることが分かります．実は，この結果が出る以前には，６次にオーダーバリアーがあり，７次以上のスキームは不可能だと思っていました．

Kepler 問題におけるエネルギー発展

　次のこの図は，同じ手法を Kepler 問題（惑星の運動，Hamilton 系なので保存系）に適用したものです．保存則を満たす７次スキーム（新たに作ったもの）と，満たさない７次スキームで，ハミルトニアン（エネルギー）の時間発展を見たものです．保存則を満たすスキームのエネルギーは，（少々見づらいですが）ずっと -0.5 まま一定になっています．一方，満たさないスキームのエネルギーは（さらに見づらいですが）-0.5 から出発し，-0.6 あたりまで，単調に値が低下（発散）していきます．
　保存則を満たさないスキームの方は，さらによく見ると細かい振動が見えます．この振動のひとつひとつが，惑星の一公転に相当しており，近日点の近くで急激にエネルギーが変化している（つまり不安定である）ことを表しています．この問題の場合，それでもうまく計算できていますが，このような不安定性を除去するためにも，保存則を守ることが大切です．
　このテーマでは，今後「偏微分方程式への適用」「時間対称公式の構築」などを詰めていく必要があります．

そのほかのテーマ
　学生の頃は Pseudospectral 法による非線形波動方程式の解法を研究していました．
　さらにそこに，SINC 関数による近似解法を組み合わせることを次にやりました．(→杉原正顯先生のご研究も参照してください）
　そのほか，自分の興味を広げたいので，全く新しいテーマを持ち込んでくる学生さんを歓迎します．
　個人的には数理モデリング，並列計算なども面白そうだな，と思っていますがなかなか手が着かないでいます．

1993 年 3 月	東京大学工学部物理工学科卒業
1995 年 3 月	東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻修士課程修了
1995 年 4 月	同博士課程進学
1997 年 3 月	同中退
1997 年 4 月	名古屋大学大学院工学研究科計算理工学専攻助手
2003 年 2 月	東京大学博士 (工学)
2004 年 4 月	東京大学大学院情報理工学系研究科講師
2004 年 5 月	東京大学大学院情報学環講師
2006 年 4 月	東京大学大学院情報理工学系研究科講師
2007 年 8 月	東京大学大学院情報理工学系研究科准教授
2013 年 6 月	東京大学大学院情報理工学系研究科教授